Persamaan linear satu variabel

A.  KALIMAT TERBUKA

1.Pernyataan

     Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai macam kalimat berikut.

a.   Jakarta adalah ibu kota Indonesia.

b.  Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.

c.  8 > -5

Ketiga kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilaibenar, karena  setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut.

Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut

a.   Tugu Monas terletak di Jogjakarta.

b.  2 + 5 < -2 .

c.  Matahari terbenam di arah timur.

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilaisalah , karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah) disebut pernyataan    

2. Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka

      Dapatkah kalian menjawab pertanyaan “Indonesia terletak di Benua x”. Jika x diganti Asia maka kalimat tersebuat bernilai benar. Adapun jika x Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benuax” disebut kalimat terbuka.

Contoh:

a.   3 – x = 6, x anggota himpunan bilangan bulat.

b.  12 – y = 7,y anggota himpunan bilangan cacah.

c.  z x 5 = 15,z anggota himpunan bilangan asli.

Kalimat  3 – x = 6, x anggota bilangan bulat akan bernilai benar jika  x diganti dengan -3 dan akan bernilai salah jika x diganti bilangan selain -3. Selanjutnya, x disebuat variabel sedangkan 3dan 6 disebut konstanta  dari kalimat 12 – y = 7 dan z x 5 = 15pada contoh diatas.

 Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum    diketahui nilai kebenarannya.

      Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan

      Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat terbuka bernilai benar.

B.   PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.  Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat teruka x + 1 = 5.

Kalimat terbuka tersebut dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan .

Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel .

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear .

 

3.   Persamaan- Persamaan yang Ekuivalen

Perhatikan uraian berikut.

a.    x – 3 = 5

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar)

Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8

b.    2 x – 6 = 10 … (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)

Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10

                                               ó 16 – 6 = 10 (benar)

c.     x +  4 + 12… (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar)

Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8

Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan diatas disebut persamaan ekuivalen.

     Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “ó”.

    Dengan demikian bentuk x – 3 = 5 ; 2 x – 6 = 10 ; dan x + 4 = 12 dapat    dituliskan sebagai x – 3 = 5 ó 2 x – 6 = 10 óx + 4 = 12.

Dua pesamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dinotasikn dengan tanda “ó”.

 Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti dengan 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x– 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka

     x – 5 = 4

ó x – 5 + 5 = 4 + 5

ó            x = 9

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah{9}.

          Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan   x = 9, atau  ditulis x – 5 = 4 ó x = 9.

Suatu persamaan dapat dinyatakan kedalam persamaan yang ekuivalen dengan cara

a.    Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama,

b.    Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

4.   Penyelesaian Persamaan Linear  Satu Variabel Bentuk Pecahan

Dalam menentuan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hamper sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian slesaikan persamaan linear satu variabel.

 

5.   Grafik Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear  Satu Variabel

Grafik himpunan penyeleaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2 x + 3) = 10 x + 8, jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan.

Penyelesaian :

                  4(2 x + 3)     = 10 x + 8

             ó 8 x + 24       = 10 x + 8

             ó 8 x + 12 – 12= 10 x + 8 – 12    (kedua ruas dikurangi 12)

ó 8 x               = 10 x - 4

ó 8 x – 10 x     = 10 x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10 x)

ó -2 x              = -4

ó -2 x : (-2)      = -4 : (-2)            (kedua ruas dibagi -2)

ó x                 = 2

          Jadi, himpunan penyelesaian adalah {2}.

          Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

 

 

A.  PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.   Pengertian Ketidaksamaan

2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 

Pada kalimat (a) dan (b) diatas masing-masing mempunyai satu variabel yaitu x  yang berpangkat satu (linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyau satu variabel berpangkat satu, yaitu p. Jadi,  kalimat terbuka diatas menyatakan suatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu .

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).    

3.   Penyelesaian Pertidaksamaan Linear  Satu Variabel

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2 , dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 - 3x > 2

                                  ó10 -  3 x 1 > 2

                                  ó 7 > 2

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjdi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan                        4 x  - 2 > 3 x  + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah

Penyelesaian :

·  Cara1

Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4 x – 2 =   3 x + 5.

Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satuh bilangan cacah kurang dari 7 dan lebih dari 7.

4 x -2 > 3 x  +  5 =

Jika x diganti 6 maka 4 x 6 – 2 > 3 x 6 + 5

                                            22  > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka 4 x 8 – 2 > 3 x 8 + 5

                                             30 > 29 (bernilai benar)

Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4 x – 2 > 3 x + 5 adalah {8,9,10…}

·  Cara2

           4 x – 2 > 3 x + 5

     ó 4 x – 2 + 2   > 3 x + 5 + 2     (kedua ruas ditambah 2)

   ó              4 x > 3 x + 7

   ó 4 x + (-3 x)  > 3 x + (-3 x) + 7 (kedua ruas ditambah -3 x)

     ó              x  > 7

Karena  x variabel pada himpunan bilangan cacah maka hpnya adalah {8,9,10}.

Dari contoh diatas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu varibel dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu

a.    Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dg tanda “=”

b.    Menyatakan kedalam pertidaksamaan yang ekuivalen .

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.

A.  KALIMAT TERBUKA

1.Pernyataan

     Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menjumpai berbagai macam kalimat berikut.

a.   Jakarta adalah ibu kota Indonesia.

b.  Gunung Merapi terletak di Jawa Tengah.

c.  8 > -5

Ketiga kalimat diatas merupakan kalimat yang bernilaibenar, karena  setiap orang mengakui kebenaran kalimat tersebut.

Selanjutnya perhatikan kalimat-kalimat berikut

a.   Tugu Monas terletak di Jogjakarta.

b.  2 + 5 < -2 .

c.  Matahari terbenam di arah timur.

Ketiga kalimat tersebut merupakan kalimat yang bernilaisalah , karena setiap orang tidak sependapat dengan kalimat tersebut.

Kalimat yang dapat ditentukan nilai kebenarannya (bernilai benar atau salah) disebut pernyataan    

2. Kalimat Terbuka dan Himpunan Penyelesaian Kalimat Terbuka

      Dapatkah kalian menjawab pertanyaan “Indonesia terletak di Benua x”. Jika x diganti Asia maka kalimat tersebuat bernilai benar. Adapun jika x Eropa maka kalimat tersebut bernilai salah. Kalimat seperti “Indonesia terletak di Benuax” disebut kalimat terbuka.

Contoh:

a.   3 – x = 6, x anggota himpunan bilangan bulat.

b.  12 – y = 7,y anggota himpunan bilangan cacah.

c.  z x 5 = 15,z anggota himpunan bilangan asli.

Kalimat  3 – x = 6, x anggota bilangan bulat akan bernilai benar jika  x diganti dengan -3 dan akan bernilai salah jika x diganti bilangan selain -3. Selanjutnya, x disebuat variabel sedangkan 3dan 6 disebut konstanta  dari kalimat 12 – y = 7 dan z x 5 = 15pada contoh diatas.

 Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum    diketahui nilai kebenarannya.

      Variabel adalah lambang (simbol) pada kalimat terbuka yang dapat diganti oleh sebarang anggota himpunan yang telah ditentukan

      Konstanta adalah nilai tetap (tertentu) yang terdapat pada kalimat terbuka

Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat terbuka bernilai benar.

B.   PERSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.  Pengertian Persamaan dan Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel

Perhatikan kalimat teruka x + 1 = 5.

Kalimat terbuka tersebut dihubungkan dengan tanda sama dengan (=). Selanjutnya, kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) disebut persamaan .

Persamaan dengan satu variabel berpangkat satu atau berderajat satu disebut persamaan linear satu variabel .

Pengganti variabel x yang mengakibatkan persamaan bernilai benar disebut penyelesaian persamaan linear. Himpunan semua penyelesaian persamaan linear disebut himpunan penyelesaian persamaan linear .

 

3.   Persamaan- Persamaan yang Ekuivalen

Perhatikan uraian berikut.

a.    x – 3 = 5

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 – 3 = 5 (benar)

Jadi, penyelesaian persamaan x – 3 = 5 adalah x = 8

b.    2 x – 6 = 10 … (kedua ruas pada persamaan a dikalikan 2)

Jika x diganti bilangan 8 maka 2(8) – 6 = 10

                                               ó 16 – 6 = 10 (benar)

c.     x +  4 + 12… (kedua ruas pada persamaan a ditambah 7)

Jika x diganti bilangan 8 maka 8 + 4 = 12 (benar)

Jadi, penyelesaian persamaan x + 4 = 12 adalah x = 8

Berdasarkan uraian diatas tampak bahwa ketiga persamaan mempunyai penyelesaian yang sama, yaitu x = 8. Persamaan-persamaan diatas disebut persamaan ekuivalen.

     Suatu persamaan yang ekuivalen dinotasikan dengan “ó”.

    Dengan demikian bentuk x – 3 = 5 ; 2 x – 6 = 10 ; dan x + 4 = 12 dapat    dituliskan sebagai x – 3 = 5 ó 2 x – 6 = 10 óx + 4 = 12.

Dua pesamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dinotasikn dengan tanda “ó”.

 Pada persamaan x – 5 = 4, jika x diganti dengan 9 maka akan bernilai benar, sehingga himpunan penyelesaian dari x– 5 = 4 adalah {9}. Perhatikan jika kedua ruas masing-masing ditambahkan dengan bilangan 5 maka

     x – 5 = 4

ó x – 5 + 5 = 4 + 5

ó            x = 9

Jadi, himpunan penyelesaian persamaan x – 5 = 4 adalah{9}.

          Dengan kata lain, persamaan x – 5 = 4 ekuivalen dengan persamaan   x = 9, atau  ditulis x – 5 = 4 ó x = 9.

Suatu persamaan dapat dinyatakan kedalam persamaan yang ekuivalen dengan cara

a.    Menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama,

b.    Mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.

4.   Penyelesaian Persamaan Linear  Satu Variabel Bentuk Pecahan

Dalam menentuan penyelesaian persamaan linear satu variabel bentuk pecahan, caranya hamper sama dengan menyelesaikan operasi bentuk pecahan aljabar. Agar tidak memuat pecahan, kalikan kedua ruas dengan KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian slesaikan persamaan linear satu variabel.

 

5.   Grafik Himpunan Penyelesaian Persamaan Linear  Satu Variabel

Grafik himpunan penyeleaian persamaan linear satu variabel ditunjukkan pada suatu garis bilangan, yaitu berupa noktah (titik).

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4(2 x + 3) = 10 x + 8, jika x variabel pada himpunan bilangan bulat. Kemudian, gambarlah pada garis bilangan.

Penyelesaian :

                  4(2 x + 3)     = 10 x + 8

             ó 8 x + 24       = 10 x + 8

             ó 8 x + 12 – 12= 10 x + 8 – 12    (kedua ruas dikurangi 12)

ó 8 x               = 10 x - 4

ó 8 x – 10 x     = 10 x – 4 – 10x (kedua ruas dikurangi 10 x)

ó -2 x              = -4

ó -2 x : (-2)      = -4 : (-2)            (kedua ruas dibagi -2)

ó x                 = 2

          Jadi, himpunan penyelesaian adalah {2}.

          Grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

 

 

A.  PERTIDAKSAMAAN LINEAR SATU VARIABEL

1.   Pengertian Ketidaksamaan

2. Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 

Pada kalimat (a) dan (b) diatas masing-masing mempunyai satu variabel yaitu x  yang berpangkat satu (linear). Adapun pada kalimat (b) dan (c) mempunyau satu variabel berpangkat satu, yaitu p. Jadi,  kalimat terbuka diatas menyatakan suatu pertidaksamaan yang mempunyai satu variabel dan berpangkat satu .

Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dan berpangkat satu (linear).    

3.   Penyelesaian Pertidaksamaan Linear  Satu Variabel

Perhatikan pertidaksamaan 10 – 3x > 2 , dengan x variabel pada himpunan bilangan asli.

Jika x diganti 1 maka 10 - 3x > 2

                                  ó10 -  3 x 1 > 2

                                  ó 7 > 2

Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut.

Pengganti variabel dari suatu pertidaksamaan, sehingga menjdi pernyataan yang benar disebut penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel.

Contoh:

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan                        4 x  - 2 > 3 x  + 5 dengan x variabel pada himpunan bilangan cacah

Penyelesaian :

·  Cara1

Dengan mengganti tanda “>” dengan “=” diperoleh persamaan 4 x – 2 =   3 x + 5.

Dengan cara menyelesaikan persamaan tersebut diperoleh penyelesaiannya adalah x = 7. Selanjutnya ambillah satuh bilangan cacah kurang dari 7 dan lebih dari 7.

4 x -2 > 3 x  +  5 =

Jika x diganti 6 maka 4 x 6 – 2 > 3 x 6 + 5

                                            22  > 23 (bernilai salah)

Jika x diganti 8 maka 4 x 8 – 2 > 3 x 8 + 5

                                             30 > 29 (bernilai benar)

Karena nilai x yang memenuhi adalah lebih besar dari 7, maka himpunan penyelesaian dari 4 x – 2 > 3 x + 5 adalah {8,9,10…}

·  Cara2

           4 x – 2 > 3 x + 5

     ó 4 x – 2 + 2   > 3 x + 5 + 2     (kedua ruas ditambah 2)

   ó              4 x > 3 x + 7

   ó 4 x + (-3 x)  > 3 x + (-3 x) + 7 (kedua ruas ditambah -3 x)

     ó              x  > 7

Karena  x variabel pada himpunan bilangan cacah maka hpnya adalah {8,9,10}.

Dari contoh diatas, untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan satu varibel dapat dilakukan dalam dua cara, yaitu

a.    Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidaksamaan dg tanda “=”

b.    Menyatakan kedalam pertidaksamaan yang ekuivalen .

Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.